Question

如果n=∫_-2²（sinx+1）dx，则（1+2x）（1-x）ⁿ展开式中x²项的系数为     ．

Answer

由定积分的计算，可得n的值，进而分析在（1+2x）（1-x）n展开式中产生x2项的情况，分2种情况讨论，计算可得答案．
【解析】
根据题意，n=∫-22（sinx+1）dx=2-cos2-（-2）+cos（-2）=4，
则（1+2x）（1-x）4中，x2项产生有2种情况，
①（1+2x）中出常数项，（1-x）4中出x2项，
②（1+2x）与（1-x）4中，都出x项；
则其展开式中x2的系数为1×C42（-1）2+2×C43（-1）=-2；
故答案为：-2．