Question

如图，五面体A-BCC₁B₁中，AB₁=4．底面ABC是正三角形，AB=2．四边形BCC₁B₁是矩形，平面ABC⊥平面BCC₁B₁
（I）求这个几何体的体积；
（Ⅱ）D在AC上运动，问：当D在何处时，有AB₁∥平面BDC₁，请说明理由；
（III）求二面角B₁-AC₁-C的余弦值．

Answer

（I）由已知中平面ABC⊥平面BCC1B1，我们易得五面体A-BCC1B1（四棱锥）的底面为BCC1B1，高是正三角形ABC的高，分别求出棱锥的底面面积和高，代入即可得到这个几何体的体积；
（Ⅱ）当D为AC中点时，连接B1C交BC1于O，连接DO，易根据三角形的中位线定理，证得DO∥AB1，进而根据线面平行的判定定理得到AB1∥平面BDC1．
（III）建立空间直角坐标系B-xyz如图所示，分别求出平面B1AC1与AC1C的一个法向量的坐标，代入向量夹角公式，即可求出二面角B1-AC1-C的余弦值．
【解析】
（I）显然这个五面体是四棱锥A-BCC1B1，
因为侧面BCC1B1垂直于底面ABC，
所以正三角形ABC的高就是这个四棱锥A-BCC1B1的高，
又AB1=4，AB=2，所以．
于是 
=．…（4分）
（Ⅱ）当D为AC中点时，有AB1∥平面BDC1．
证明：连接B1C交BC1于O，连接DO，
∵四边形BCC1B1是矩形∴O为B1C中点，
∵AB1∥平面BDC1，且AB1⊄平面BDC1，DO⊂平面BDC1
∴DO∥AB1，∴D为AC的中点．…（8分）
（III）建立空间直角坐标系B-xyz如图所示，
则，C（0，2，0），，，
所以，，，，
设为平面B1AC1的法向量，
则有，令z=1，可得平面B1AC1的一个法向量为，
设为平面ACC1的法向量，则有，
令x=-1，可得平面ACC1的法向量，
=，
所以二面角B1-AC1-C的余弦值为…（12分）
注：本题也可以不建立坐标系，解法从略，请按三小题分值给分