Question

对于给定数列{c_n}，如果存在实常数p，q，使得c_n+1=pc_n+q对于任意n∈N^*都成立，我们称数列{c_n}是“M类数列”．
（I）若a_n=2n，b_n=3•2ⁿ，n∈N^*，数列{a_n}、{b_n}是否为“M类数列”？若是，指出它对应的实常数p&，q，若不是，请说明理由；
（Ⅱ）若数列{a_n}满足a₁=2，a_n+a_n+1=3t•2ⁿ（n∈N^*），t为常数．
（1）求数列{a_n}前2009项的和；
（2）是否存在实数t，使得数列{a_n}是“M类数列”，如果存在，求出t；如果不存在，说明理由．

Answer

对于（I）因为an=2n，bn=3•2n，则可验证an+1与an的关系，bn+1与bn的关系*，写出表达式，即可验证数列{an}、{bn}是否为“M类数列”．
对于（II）（1）因为an+an+1=3t•2n，可依此相加列出数列{an}前2009项和等式，可以看出是等比数列的求和公式求得．
（2）可假设数列{an}是“M类数列”，则存在实常数p，q使得an+1=pan+q对于任意n∈N*都成立，且有an+2=pan+1+q对于任意n∈N*都成立，再根据题意解除t，求出对应常数即可．
【解析】
（I）因为an=2n，则有an+1=an+2，n∈N*
故数列{an}是“M类数列”，对应的实常数分别为1，2．
因为bn=3•2n，则有bn+1=2bnn∈N*
故数列{bn}是“M类数列”，对应的实常数分别为2，0．
（II）（1）因为an+an+1=3t•2n（n∈N*）
则有a2+a3=3t•22，a4+a5=3t•24，a2006+a2007=3t•22006，a2008+a2009=3t•22008．
故数列{an}前2009项的和S2009=a1+（a2+a3）+（a4+a5）++（a2006+a2007）+（a2008+a2009）+（a2008+a2009）=2+3t•22+3t•24++3t•22006+3t•22008=2+t（22010-4）
故答案为2+t（22010-4）
（2）若数列{an}是“M类数列”，则存在实常数p，q
使得an+1=pan+q对于任意n∈N*都成立，
且有an+2=pan+1+q对于任意n∈N*都成立，
因此（an+1+an+2）=p（an+an+1）+2q对于任意n∈N*都成立，
而an+an+1=3t•2n（n∈N*），且an+1+an+2=3t•2n+1（n∈N*）
则有3t•2n+1=3t•p2n+2q对于任意n∈N*都成立，可以得到t（p-2）=0，q=0，
①当p=2，q=0时，an+1=2an，an=2n，t=1，经检验满足条件．
②当t=0，q=0时，an+1=-an，an=2（-1）n-1，p=-1经检验满足条件．
因此当且仅当t=1或t=0，时，数列{an}也是“M类数列”．对应的实常数分别为2，0，或-1，0．