Question

设函数．
（I）求函数的单调区间；
（II）求y=f（x）在[0，a]（a＞0）上的最小值；
（III）当x∈（1，+∞）时，证明：对任意n∈N₊．

Answer

（I）先求出导函数，然后令f′（x）=0，判定导数符号，即可求出函数的单调区间；
（II）讨论a与1的大小，根据函数在[0，a]上的单调性即可求出函数f（x）在[0，a]上的最小值；
（III）设当n=1时，只需证明g1（x）=ex-1-x＞0，根据g1（x）=ex-1-x在（1，+∞）上单调性可证得结论，然后利用数学归纳法证明即可．
【解析】
（I）f′（x）=2xex-1+x2ex-1-x2-2x=x（x+2）（ex-1-1）…（2分）
令f′（x）=0，可得x1=-2，x2=0，x3=1

x （-∞，-2） -2 （-2，0） （0，1） 1 （1，+∞）
f′（x） - + - +
f（x） 减 极小 增 极大 减 极小 增

函数y=f（x）的增区间为（-2，0）和（1，+∞），减区间为（-∞，-2）和（0，1）…（5分）
（II）①当0＜a≤1时，f′（x）＜0，f（x）在[0，a]上递减，
∴．
②当a＞1时，由（I）知∴
∴f（x）在[0，a]上的最小值是
∴…（8分）
（III）设当n=1时，只需证明g1（x）=ex-1-x＞0
当x∈（1，+∞）时
所以g1（x）=ex-1-x在（1，+∞）上单调增函数
∴g1（x）＞g（1）=e-1=0，即ex-1＞x；  …（10分）
当x∈（1，+∞）时，假设n=k时不等式成立，即
当n=k+1时，
因为
所以g'k+1（x）在（1，+∞）上也是增函数
所以
即当n=k+1时，不等式成立．
所以当x∈（1，+∞）时，…（14分）