Question

单位正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是BC，CD中点，平面A₁EF交BB₁于M，交DD₁于N
（1）画出几何体A₁MEFN-ABEFD的直观图与三视图；
（2）设AC中点为O，在CC上存在一点G，使=λ，且OG⊥平面A₁EF，求λ；
（3）求A₁C与平面A₁EF所成角的正弦值．

Answer

（1）根据题目条件可画出几何体的直观图，以及根据三视图的画法画出左视图、正视图、俯视图即可；
（2）选择A为坐标原点，AB，AD，AA所在直线为x，y，z轴，求出向量与，然后根据⊥建立等式，可求出λ的值．
（3）由（2）知平面A1EF的一个法向量是，求出向量，利用向量的夹角公式可求出A1C与平面A1EF所成角的正弦值．
【解析】
（1）几何体的直观图如下左图，三视图如下右图

（2）选择A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线为x，y，z轴，则E（1，0.5，0），F（0.5，1，0），A1（0，0，1），G（1，1，λ），O（0.5，0.5，0），
∴=（0.5，0.5，λ），=（1，0.5，-1），
∵OG⊥平面A1EF，A1E⊂平面A1EF
∴⊥
∴0.5+0.25-λ=0，解得λ=0.75
（3）由（2）知，平面A1EF的一个法向量是=（0.5，0.5，0.75），=（1，1，-1）
A1C与平面A1EF所成角的正弦值为sinθ==