Question

“笑脸曲线”由曲线C₁和C₂构成，如图，C₁是以O为顶点、F为焦点的抛物线的一部分，曲线C₂是以O为焦点、Q为顶点的抛物线的一部分，A（4，2）是曲线C₁和C₂的交点，
（1）求曲线C₁和C₂所在的抛物线方程；
（2）在C₂上是否存在点P，AP交x轴于M，使△OAM为等腰三角形？如果存在，求出P点坐标，如果不存在，说明理由．

Answer

（1）设抛物线C1：x2=2py，C2：x2=4q（y+q），p＞0，q＞0，由A（4，2）是曲线C1和C2的交点，能求出抛物线C1方程为x2=16y，抛物线C2方程x2=8（y+2）．
（2）假设存在点P满足条件，使△OAM为等腰三角形，第一种可能是OA为等腰三角形的底，于是AM倾斜角是OA倾斜角的二倍；第二种可能是OM为等腰三角形的底，此时，直线OA与直线MA斜率互为相反数；第三种可能是AM为等腰三角形的底，此时，直线AM3的倾斜角是直线OA倾斜角的一半．由此进行分类讨论，能求出P点坐标．
【解析】
（1）设抛物线C1：x2=2py，C2：x2=4q（y+q），p＞0，q＞0，
∵A（4，2）是曲线C1和C2的交点，
把A（4，2）分别代入抛物线C1：x2=2py，C2：x2=4q（y+q），p＞0，q＞0，
得32=4p，解得p=8；
32=4q（2+q），解得q=2．
所以抛物线C1方程为x2=16y，
抛物线C2方程x2=8（y+2）．
（2）假设存在点P满足条件，使△OAM为等腰三角形，
第一种可能是OA为等腰三角形的底，
于是AM倾斜角是OA倾斜角的二倍，
∵kOA=，kAP==
直线AP的方程为y-2=（x-4），
与x2=8（y+2）联立，消去y得：
7x2-32x+32=0，解得x=4（A点横坐标），x=，y=-，
故存在点P1（，-），使△OAM为等腰三角形．
第二种可能是OM为等腰三角形的底，
此时，直线OA与直线MA斜率互为相反数，
M（8，0），直线AM的方程为y=-（x-8），
与抛物线C2方程x2=8（y+2）．联立，消去y得：
x2=8（y+2）=8[-（x-8）+2]，
整理得x2+2x-48=0，x=-6，y=7．
所以存在P2（-6，7），使△OAM为等腰三角形；
第三种可能是AM为等腰三角形的底，
此时，直线AM3的倾斜角是直线OA倾斜角的一半，
于是=，
解得tan∠AM3O=3-2，
故直线AM3的方程为y-2=（3-2）（x-4），
与方程x2=8（y+2）联立，消去y得：
x2-（24-16）x-160+96=0，x+4=24-16
故存在点P3（24-20，170-120），使△OAM为等腰三角形．