Question

设函数f（x）=（x²+ax-2a-3）e^3-x
（1）求f（x）的单调区间；
（2）设a＞0，g（x）=（a²+8）e^x，确定f（x）与g（x）在[0，4]上值域；
（3）若存在x₁，x₂∈[0，4]，使得|f（x₁）-g（x₂）|＜3成立，求a的取值范围．

Answer

（1）先根据导数乘法的运算法则求出函数的导函数，然后讨论f'（x）=0时两根大小，然后分别解不等式f'（x）＜0与f'（x）＞0，从而求出函数的单调区间；
（2）由（1）知，当a＞0时，f（x）在区间[0，4]上的单调性，从而求出函数f（x）在区间[0，4]上的值域，根据g（x）在[0，4]上单调递增，可求出g（x）在[0，4]的值域；
（3）若F∩G≠∅，则一定存在x1，x2∈[0，4]使得|f（x1）-g（x2）|＜3成立，若F∩G=∅，则只要|fmax（x）-gmin（x）|＜3或|gmax（x）-fmin（x）|＜3，建立关于a的不等关系，解之即可．
【解析】
（1）f'（x）=-[x2+（a-2）x-3a-3]e3-x=-（x-3）（x+a+1）e3-x
当a＜-4时，f'（x）＜0⇒x＜3或x＞-a-1，f'（x）＞0⇒3＜x＜-a-1．
∴f（x）单调减区间为（-∞，3），（-a-1，+∞），单调增区间为（3，-a-1）．
当a＞-4时，f'（x）＜0⇒x＞3或x＜-a-1，f'（x）＞0⇒-a-1＜x＜3．
∴f（x）单调减区间为（-∞，-a-1），（3，+∞），单调增区间为（-a-1，3）．
当a=-4时，f'（x）≤0，f（x）单调减区间为，（-∞，+∞）．
（2）由（1）知，当a＞0时，f（x）在区间（0，3）上的单调递增，
在区间（3，4）上单调递减，而f（0）=-（2a+3）e3，f（4）=（2a+13）e-1，f（3）=a+6．
那么f（x）在区间[0，4]上的值域是F=[-（2a+3）e3，a+6]
g（x）在[0，4]的值域为G=[a2+8，（a2+8）e4]，
（3）若F∩G≠∅，则一定存在x1，x2∈[0，4]使得|f（x1）-g（x2）|＜3成立．
若F∩G=∅，则只要|fmax（x）-gmin（x）|＜3或|gmax（x）-fmin（x）|＜3，
由于（a2+8）e4＞a2+8＞a+6＞-（2a+3）e3．
所以，．
解得：．