Question

椭圆与双曲线之间有许多类似的性质：
P是椭圆+=1（a＞b＞0）上任一点，焦点F₁、F₂，∠F₁PF₂=α，三角形PF₁F₂面积为b²，类比，P是双曲线-=1（a＞0，b＞0）上任一点，焦点F₁、F₂，∠F₁PF₂=α，三角形PF₁F₂面积为    ．

Answer

类似椭圆的性质，将面积表达式的“+”号改成“-”即得b2．设|PF1|=r1，|PF2|=r2，根据三角形面积公式可表示出△PF1F2的面积，由余弦定理可求得r1r2的表达式，进而求得S与b和tanθ的关系式，原式得证．
【解析】
类似椭圆的性质：P是双曲线-=1（a＞0，b＞0）上任一点，焦点F1、F2，∠F1PF2=α，三角形PF1F2面积为 b2．
证明：设|PF1|=r1，|PF2|=r2，
则S=r1r2sin2θ，又|F1F2|=2c，
由余弦定理有
（2c）2=r12+r22-2r1r2cos2θ=（r1+r2）2-2r1r2-2r1r2cos2θ=（2a）2-2r1r2（1+cos2θ），
于是2r1r2（1+cos2θ）=4a2-4c2=4b2．
所以r1r2=．
这样即有S=•sin2θ=b2 =b2．
故答案为：b2．