由圆C的方程找出圆心C的坐标和半径r,设出直线AB的斜率为k,根据两直线垂直时斜率的乘积为-1,得到直线MN的斜率为-,由两直线都过P点,进而分别表示出两直线的方程,利用点到直线的距离公式分别求出圆心到两直线的距离d1和d2,由垂径定理得到垂足为中点,由弦心距,半径,利用勾股定理求出弦的一半,进而表示出|AB|和|MN|,得出|AB|2+|MN|2的值为定值,再表示出|MN|•|AB|,变形后求出|MN|•|AB|的最小值,把所求的式子通分后,将求出的|AB|2+|MN|2的值及|MN|•|AB|的最小值代入,即可求出所求式子的最大值.
【解析】
由圆的方程x2+y2=4,得到圆心坐标为(0,0),半径r=2,
设直线AB的方程为:y=k(x-1),即kx-y-k=0,
则直线MN的方程为:y=-(x-1),即x+ky-1=0,
∴圆心到直线AB的距离d1=,到直线MN的距离d2=,
∴|AB|=2=2,|MN|=2=2,
∵|MN|•|AB|=4
=4=4≥4=8,
∴(|MN|•|AB|)min=8,
∵|AB|2+|MN|2=4(+)==28,
∴+==,
当(|MN|•|AB|)min=8时,
则(+)max==.
故答案为: