Question

设单调递增等比数列{a_n}满足a₁+a₂+a₃=7，且a₃是a₁，a₂+5的等差中项，
（1）求数列{a_n}的通项；
（2）数列{c_n}满足：对任意正整数n，++…+=22+均成立，求数列{c_n}的前n项和．

Answer

（1）将已知条件a1+a2+a3=7，且a3是a1，a2+5的等差中项，用基本量表示，列出方程组，求出首项与公比，利用等比数列的通项公式求出数列{an}的通项．
（2）根据已知等式仿写出新等式，两式相减求出数列{cn}的通项，利用等差数列的前n项和公式求出数列{cn}的前n项和．
【解析】
（1）设等比数列{an}的公比为q，则 ，
两式相减，得a1q2=4，（3分）
代入第一方程得，
（舍），
又a1=1，
所以an=2n-1（6分）
（2）对任意正整数n，均成立，
n=1时，c1=13（8分）
当n≥2时，，
两式相减得
所以n≥2时，cn=15-2n，
n=1也满足此式 （12分）
∴=-n2+14n（14分）