Question

设椭圆，（{a＞b＞0}）的左右焦点分别为F₁，F₂，离心率，右准线为l，M，N是l上的两个动点，
（Ⅰ）若，求a，b的值；
（Ⅱ）证明：当|MN|取最小值时，与共线．

Answer

（Ⅰ）设，根据题意由得，由，得，，由此可以求出a，b的值．
（Ⅱ）|MN|2=（y1-y2）2=y12+y22-2y1y2≥-2y1y2-2y1y2=-4y1y2=6a2．当且仅当或时，|MN|取最小值，由能够推导出与共线．
【解析】
由a2-b2=c2与，得a2=2b2，，l的方程为
设
则
由得①
（Ⅰ）由，得②③
由①、②、③三式，消去y1，y2，并求得a2=4
故
（Ⅱ）证明：|MN|2=（y1-y2）2=y12+y22-2y1y2≥-2y1y2-2y1y2=-4y1y2=6a2
当且仅当或时，|MN|取最小值
此时，
故与共线．