Question

设函数g（x）=x²e^x-1，f（x）=g（x）+ax³+bx²，已知x=-2和x=1为f（x）的极值点，且g′（x）=2xe^x-1+x²e^x-1．
（1）求a和b的值；（2）讨论f（x）的单调性．

Answer

（1）根据题意，求出f（x）的导函数，令导函数在-2，1处的值为0，列出方程组，求出a，b的值．
（2）由（1）得f′（x）=x（x+2）（ex-1-1），令f′（x）=0，可得x1=-2，x2=0，x3=1，根据导数的正负可得函数的单调区间．
【解析】
显然f （x）的定义域为R．
（1）f′（x）=2xex-1+x2ex-1+3ax2+2bx=xex-1（x+2）+x（3ax+2b），…（2分）
由x=-2和x=1为f （x）的极值点，得…（4分）
即…（5分）
解得…（7分）
（2）由（1）得f′（x）=x（x+2）（ex-1-1）．…（8分）
令f′（x）=0，得x1=-2，x2=0，x3=1．…（10分）
f′（x）、f （x）随x的变化情况如下表：…（12分）

x （-∞，-2） -2 （-2，0） （0，1） 1 （1，+∞）
f′（x） - + - +
f （x） ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗

从上表可知：函数f （x）在（-2，0）和（1，+∞）上是单调递增的，在（-∞，-2）和（0，1）上是单调递减的．