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已知直线x+y-1=0与椭圆相交于A,B两点,线段AB中点M在直线上. (1)求...

已知直线x+y-1=0与椭圆manfen5.com 满分网相交于A,B两点,线段AB中点M在直线manfen5.com 满分网上.
(1)求椭圆的离心率;(2)若椭圆右焦点关于直线l的对称点在单位圆x2+y2=1上,求椭圆的方程.
(Ⅰ)设出A、B两点的坐标,联立直线与椭圆的方程得关于x的一元二次方程;由根与系数的关系,可得x1+x2, y1+y2;从而得线段AB的中点坐标,代入直线l的方程,得出a、c的关系,从而求得椭圆的离心率. (Ⅱ)设椭圆的右焦点坐标为F(b,0),F关于直线l的对称点为(x,y),则由互为对称点的连线被对称轴垂直平分,可得方程组,解得x、y;代入圆的方程 x2+y2=1,得出b的值,从而得椭圆的方程. 【解析】 (1)设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 由得:(a2+b2)x2-2a2x+a2-a2b2=0.…(1分) △=-(2a2)2-(a2+b2)(a2-a2b2)>0,即a2+b2>1.…(2分) x1+x2=,y1+y2=-( x1+x2)+2=, ∴点M的坐标为(,).…(4分) 又点M在直线l上, ∴-=0, ∴a2=2b2=2(a2-c2),∴a2=2c2, ∴.…(6分) (2)由(1)知b=c,设椭圆的右焦点F(b,0)关于直线l:的对称点为(x,y), 由,解得…(10分) ∵x2+y2=1, ∴, ∴b2=1,显然有a2+b2=3>1.…(12分) ∴所求的椭圆的方程为.…(14分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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