Question

已知抛物线C：y²=x，过定点A（x，0），作直线l交抛物线于P，Q（点P在第一象限）．
（Ⅰ）当点A是抛物线C的焦点，且弦长|PQ|=2时，求直线l的方程；
（Ⅱ）设点Q关于x轴的对称点为M，直线PM交x轴于点B，且BP⊥BQ．求证：点B的坐标是（-x，0）并求点B到直线l的距离d的取值范围．

Answer

（1）先求出抛物线的焦点坐标，然后假设直线l的方程为：，将P，Q的坐标设出，联立直线和抛物线方程消去x得到两根之和，然后根据|PQ|的长度得到n的值．
（2）先设l：x=my+x（m≠0），再根据对称性得到点M的坐标，联立l与抛物线的方程消去x得到两根之和、两根之积，表示出和根据∥，得到关系式x2y1-y1xB=-x1y2+xBy2．再代入两根之和、两根之积可证明点B的坐标是（-x，0）．先确定△BMQ为等腰直角三角形，得到kPB=1，再表示出点B到直线l的距离d即可求范围．
【解析】
（Ⅰ）由抛物线C：y2=x得抛物线的焦点坐标为，
设直线l的方程为：，P（x1，y1），Q（x2，y2）．
由得．
所以△=n2+1＞0，y1+y2=n．因为，
所以．
所以n2=1．即n=±1．
所以直线l的方程为：或．
（Ⅱ）设l：x=my+x（m≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2），则M（x2，-y2）．
由得y2-my-x=0．
因为，所以△=m2+4x＞0，y1+y2=m，y1y2=-x．
（ⅰ）设B（xB，0），则．
由题意知：∥，∴x2y1-y1xB=-x1y2+xBy2．
即（y1+y2）xB=x1y2+x2y1=y12y2+y22y1=（y1+y2）y1y2．
显然y1+y2=m≠0，∴xB=y1y2=-x．∴B（-x，0）．
（ⅱ）由题意知：△BMQ为等腰直角三角形，∴kPB=1，
即，即．∴y1-y2=1．
∴（y1+y2）2-4y1y2=1．∴m2+4x=1．∴m2=1-4x＞0．
∴．∵，∴．
∴．
即d的取值范围是．