Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为4，动点P在棱A₁B₁上，
（Ⅰ）求证：PD⊥AD₁；
（Ⅱ）当A₁P=A₁B₁时，求CP与平面D₁DCC₁所成角的正弦值；
（Ⅲ）当A₁P=A₁B₁时，求点C到平面D₁DP的距离．

Answer

（解法一）（I）由题意知，A1D是PD在平面A1ADD1内的射影，再由三垂线定理证明
（II）取D1C1中点M，连接PM，证明∠PCM为所求角，在Rt△PCM中求解；
（III）由D1D∥C1C得 C1C∥平面D1DP，所求的距离转化到点C1到平面D1DP的距离相等，
再由D1D⊥平面A1B1C1D1得平面D1DP⊥平面A1B1C1D1，过点C1作交线的垂线C1H，在三
角形中求解．
（解法二）由题意以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D-xyz，求出点的坐标．
（I）设P的坐标，求数量积，证明垂直；
（II）求平面D1DCC1的法向量，利用数量的定义求两向量所成角的余弦值，即为所求的值；
（III）先求平面D1DP的法向量，再用向量法求点C到平面D1DP的距离．
解法一：（I）证明：连接A1D，在正方体AC1中，
∵A1B1⊥平面A1ADD1，∴A1D是PD在平面A1ADD1内的射影．（2分）
在正方形A1ADD1中，A1D⊥AD1，PD⊥AD1．（4分）
【解析】
（II）取D1C1中点M，连接PM，CM，则PM∥A1D1．
∵A1D1⊥平面D1DCC1，∴PM⊥平面D1DCC1．
∴CM为CP在平面D1DCC1内的射影．
则∠PCM为CP与平面D1DCC1所成的角．（7分）
在Rt△PCM中，
∴CP与平面D1DCC1所成的角的正弦值为．（9分）

（III）在正方体AC1中，D1D∥C1C．
∵C1C⊄平面D1DP内，D1D⊂平面D1DP，∴C1C∥平面D1DP．
∴点C到平面D1DP的距离与点C1到平面D1DP的距离相等．
∵D1D⊥平面A1B1C1D1，DD1⊂面D1DP，
∴平面D1DP⊥平面A1B1C1D1．
又∵平面D1DP∩平面A1B1C1D1=D1P，
过C1作C1H⊥D1P于H，∴C1H⊥平面D1DP．
∴C1H的长为点C1到平面D1DP的距离．（12分）
连接C1P，并在D1C1上取点Q，使PQ∥B1C1．
在△D1PC1中，C1H•D1P=PQ•D1C1，得．
∴点C到平面D1DP的距离为．（14分）
解法二：如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D-xyz．
由题设知正方体棱长为4，则D（0，0，0）、A（4，0，0）、B1（4，4，4）、
A1（4，0，4）、D1（0，0，4）、C（0，4，0）．（1分）
（I）设P（4，y，4），∴.（3分）
∵，
∴PD⊥AD1．（4分）

（II）由题设可得，P（4，2，4），
故．∵AD⊥面D1DCC1，
∴是平面D1DCC1的法向量．（7分）
∴．（8分）
∴CP与平面D1DCC1所成角的正弦值为．（9分）
（III）∵，设平面D1DP的法向量n=（x，y，z），
∵P（4，3，4）
∴．
则，即
令x=-3，则y=4．
∴n=（-3，4，0）．（12分）
∴点C到平面D1DP的距离为．（14分）