Question

已知数列{a_n}，{b_n}满足，且对任意m，n∈N^*，有a_m+n=a_m•a_n，b_m+n=b_m+b_n．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_nb_n}的前n项和T_n；
（3）若数列{c_n}满足，试求{c_n}的通项公式并判断：是否存在正整数M，使得对任意n∈N^*，c_n≤c_M恒成立．

Answer

（1）由已知利用赋值，取m=1，可得数列{an}，{bn}分别为等比，等差数列．结合等差数列与等比数列的通项公式可求
（2）由（1）可得，anbn=，考虑利用错误相减可求数列的和
（3）由，可得，由．可得数列{cn}为递减数列，从而可判断
【解析】
（1）由已知，对任意m，n∈N*，
有am+n=am•an，bm+n=bm+bn．
取m=1，得．
所以数列{an}，{bn}分别为等比，等差数列．
∴
…（4分）
（2）
=
两式相减，=-[]
并化简得．…（8分）
（3）由，
得．…（10分）
∵．
∴数列{cn}为递减数列，cn的最大值为c1．
故存在M=1，使得对任意n∈N*，cn≤c1恒成立…