Question

已知双曲线的离心率为，右准线方程为．
（1）求双曲线C的方程；
（2）已知直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A、B，与y轴交于点M，且，求实数m的值．

Answer

（1）先根据双曲线的离心率求出a与c的关系，然后根据右准线方程为建立等式关系，求出a与c，最后根据c2=a2+b2求出b，从而求得双曲线的方程．
（2）设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），将直线的方程代入双曲线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量的坐标表示公式即可求得m值，从而解决问题．
【解析】
（1）由题意，得
解得…（3分）
∴b2=c2-a2=2．∴所求双曲线C的方程为．…（5分）
（2）设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）
由
得x2-2mx-m2-2=0（其中判别式△＞0）
∴x1+x2=2m，①x1x2=-m2-2．②…（8分）
设M（0，y），则．
由，得．③
由①②③，解得m=±1．…（12分）
所以，m=±1．…（13分）