Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=2，cos2A=cos（B+C），．求角A及边b，c的大小．

Answer

由三角形的内角和定理得到A+B+C=π，即B+C=π-A，利用诱导公式可得cos（B+C）=-cosA，再利用二倍角的余弦函数公式化简cos2A，代入已知等式cos2A=cos（B+C）得到关于cosA的方程，求出方程的解可得cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数，再由，利用平面向量的数量积运算法则得出bccosA的值，将cosA的值代入求出bc的值，利用余弦定理得到a2=b2+c2-2bccosA，将a及bccosA的值代入得出b2+c2的值，将bc的值与b2+c2的值联立组成方程组即可求出b与c的值．
（本小题满分12分）
解∵cos（B+C）=cos（π-A）=-cosA，且cos2A=2cos2A-1，
∴由cos2A=cos（B+C）得：2cos2A+cosA-1=0，…（2分）
∴或cosA=-1（不合题意舍去），
又A为三角形的内角，
∴A=60°，…（4分）
由题意，，且cosA=，
∴bc=4，①…（7分）
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA，
将a=2，b•c•cosA=2代入得b2+c2=8，②…（10分）
由①②解得：b=c=2，
则A=60°，b=c=2．…（12分）