Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=2，BC=BB₁=1，D是棱A₁C₁的中点．
（1）设平面BB₁D与棱AC交于点E，确定点E的位置并给出理由；
（2）求直线AB与平面BB₁D所成角的大小；
（3）求二面角B-AD-B₁的大小．

Answer

（1）证明：E是AC的中点．由题意可得：B1B∥平面A1CC1A，再根据线面平行的性质定理可得：DE∥B1B，即可得到DE∥A1A，进而得到答案．
（2）由几何体的结构得：平面BB1DE⊥底面ABC．过A点作AM⊥BE，M是垂足，M在BE的延长线上，可得AM⊥平面BB1DF，所以∠ABM就是直线AB与平面BDB1所成角，再利用解三角形的知识求出答案即可（3）根据线段的长度关系可得：AB2=AD2+BD2，即AD⊥DB．在△ADB1中，由余弦定理可得：∠ADB1=120，所以∠DAB1=∠DB1A=30°．过点D作DP⊥AD，垂足为P，则∠PDB是二面角B-AD-B1的平面角，再利用解三角形的有关知识求出二面角的平面角即可．
【解析】
（1）证明：E是AC的中点．              …（1分）
由棱柱的性质知B1B∥平面A1CC1A，
∵AB⊆平面ABD，平面A1CC1A∩平面BB1D=DE，
∴所以DE∥B1B，
∴DE∥A1A，
因为D是A1C1的中点，
所以E是AC中点．…（4分）
（2）∵BB1⊥底面，
∴平面BB1DE⊥底面ABC．
过A点作AM⊥BE，M是垂足，M在BE的延长线上，
∴AM⊥平面BB1DF
所以，∠ABM就是直线AB与平面BDB1所成角．…（6分）
在直角△ACB中，，又因为∠BEC=∠AEM=45°，
所以，
∴，．      …（8分）
（3）如图，由题意可得：在直角AA1D中，在直角△BB1D中，在直角△ACB中，
∴AB2=AD2+BD2，
∴AD⊥DB．
在△ADB1中，，
∴由余弦定理可得：∠ADB1=120，所以∠DAB1=∠DB1A=30°．
过点D作DP⊥AD，垂足为P，则∠PDB是二面角B-AD-B1的平面角． …（11分）
连接BP，所以在等腰△ADB1中，在直角△ABB1中，BP=1，
所以在△PDB中，由余弦定理可得：=，
∴二面角B-AD-B1的大小为．                        …（14分）