Question

已知“接龙等差”数列a₁，a₂，…，a₁₀，a₁₁，…，a₂₀，a₂₁，…，a₃₀，a₃₁，…构成如下：a₁=1，a₁，a₂，…，a₁₀是公差为1的等差数列；a₁₀，a₁₁，…，a₂₀是公差为d的等差数列；a₂₀，a₂₁，…，a₃₀是公差为d²的等差数列；…；a_10n，a_10n+1，a_10n+2，…，a_10n+10是公差为dⁿ的等差数列（n∈N^*）；其中d≠0．
（1）若a₂₀=80，求d；
（2）设b_n=a_10n．求b_n；
（3）当d＞-1时，证明对所有奇数n总有b_n＞5．

Answer

（1）由a1，a2，…，a10是首项为1，公差为1的等差数列得a10=10，由a10，a11，…，a20是公差为d的等差数列和a20=80，能求出d．
（2）由题意有a20=a10+10d，a30=a20+10d2，a40=a30+10d3，…a10n=a10（n-1）+10dn-1，由此能求出bn．
（3）设n为奇数，当d∈（0，+∞）时bn=10+10d+10d2+…+10dn-1＞10，由此能求出当n为奇数且d＞-1时，恒有bn＞5．
【解析】
（1）由a1，a2，…，a10是首项为1，
公差为1的等差数列，得a10=10，
由a10，a11，…，a20是公差为d的等差数列，
得a20=a10+10d=10+10d=80，
解得d=7． …（4分）
（2）由题意有a20=a10+10d，
a30=a20+10d2，
a40=a30+10d3，
…
a10n=a10（n-1）+10dn-1
累加得a10n=a10+10d+10d2+…+10dn-1
=10+10d+10d2+…+10dn-1…（8分）
所以bn=10+10d+10d2+…+10dn-1
=．…（10分）
（3）设n为奇数，
当d∈（0，+∞）时，
bn=10+10d+10d2+…+10dn-1＞10…（13分）
当d∈（-1，0）时，
，
由1＜1-d＜2及1-dn＞1，
有
综上所述，当n为奇数且d＞-1时，
恒有bn＞5． …（16分）