Question

如图是在竖直平面内的一个“通道游戏”．图中竖直线段和斜线段都表示通道，并且在交点处相遇，若竖直线段有第一条的为第一层，有二条的为第二层，…，依此类推．现有一颗小弹子从第一层的通道里向下运动．记小弹子落入第n层第m个竖直通道（从左至右）的概率为P（n，m）．（已知在通道的分叉处，小弹子以相同的概率落入每个通道）
（Ⅰ）求P（2，1），P（3，2）的值，并猜想P（n，m）的表达式．（不必证明）
（Ⅱ）设小弹子落入第6层第m个竖直通道得到分数为ξ，其中ξ=，试求ξ的分布列及数学期望．

Answer

（I）根据小弹子以相同的概率落入每个通道，早每一个分叉处小球落入那一个通道的概率是相同的，根据独立重复试验的概率公式得到结果，推出具有一般性的结论．
（II）根据题意知变量ξ的可能取值是3，2，1，结合变量对应的事件和前一问做出的概率公式，写出变量对应的概率和分布列，求出期望值．
【解析】
（I）由题意知，
P（2，1）=
P（3，2）=
∴P（m，n）=
（II）由题意知变量ξ的可能取值是3，2，1
P（ξ=3）==，
P（ξ=2）=，
P（ξ=1）=
∴ξ的分布列是

        ξ        3 2           1
P

∴Eξ=3×