Question

已知椭圆C₁、抛物线C₂的焦点均在x轴上，C₁的中心和C₂的顶点均为原点O，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中：

x	1	-	2
y			-4

（Ⅰ）求C₁、C₂的标准方程；
（Ⅱ）过点曲线的C₂的焦点B的直线l与曲线C₁交于M、N两点，与y轴交于E点，若=λ₁，=λ₂，求证：λ₁+λ₂为定值．

Answer

（Ⅰ）设抛物线C2：y2=2px，则有（x≠0），据此验证4个点知（1，）、（2，-4）在抛物线上可求抛物线方程，设C1：（a＞b＞0），把点（-，0）（，）代入可求椭圆方程
（Ⅱ）证明：设M，N，E点的坐标分别为M（x1，y1）N（x2，y2），E（0，y），B（2，0）．由点B在椭圆C1内，故过点B的直线l必与椭圆相交．=λ1，可得（x1，y1-y）=λ2（2-x1，-y1），将M点坐标代入到椭圆方程可得，由同理可求，从而可求
【解析】
（Ⅰ）设抛物线C2：y2=2px，则有（x≠0），
据此验证4个点知（1，）、（2，-4）在抛物线上，易求y2=8x…（2分）
设C1：（a＞b＞0），把点（-，0）（，）代入得：C1方程为…（5分）
（Ⅱ）证明：设M，N，E点的坐标分别为M（x1，y1）N（x2，y2），E（0，y），
又易知B点的坐标为（2，0）．且点B在椭圆C1内，故过点B的直线l必与椭圆相交．
∵=λ1，∴（x1，y1-y）=λ2（2-x1，-y1）
∴，．   …（8分）
将M点坐标代入到椭圆方程中得：，
去分母整理，得λ12+10λ1+5-5y2=0． …（10分）
同理，由可得：λ22+10λ2+5-5y2=0． …（12分）
∴λ1，λ2是方程x2+10x+5-5y2=0的两个根，∴λ1+λ2=10．…（14分）