Question

设x₁、x₂（x₁≠x₂）是函数f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）的两个极值点．
（I）若x₁=-1，x₂=2，求函数f（x）的解析式；
（II）若，求b的最大值；
（III）设函数g（x）=f'（x）-a（x-x₁），x∈（x₁，x₂），当x₂=a时，求证：．

Answer

（I）求出f′（x），因为x1、x2是函数f（x）的两个极值点，而x1=-1，x2=2所以得到f′（-1）=0，f′（2）=0代入求出a、b即可得到函数解析式；
（II）因为x1、x2是导函数f′（x）=0的两个根，利用根与系数的关系对已知进行变形得到a和b的等式，求出b的范围，设p（a）=3a2（6-a），求出其导函数，利用导数研究函数的增减性得到p（a）的极大值，开方可得b的最大值；
（III）因为x1，x2是方程f'（x）=0的两根，所以f'（x）=3a（x-x1）（x-x2）．根据两个之积和x2=a求出x1，将x1和导函数代入到g（x）=f'（x）-a（x-x1）求出g（x）的绝对值，根据x的范围化简绝对值，再利用二次函数最值的方法得证即可．
解 （I）∵f（x）=ax3+bx2-a2x（a＞0）
∴f'（x）=3ax2+2bx-a2（a＞0）
依题意有，
∴．
解得，
∴f（x）=6x3-9x2-36x．
（II）∵f'（x）=3ax2+2bx-a2（a＞0），
依题意，x1，x2是方程f'（x）=0的两个根，且，
∴（x1+x2）2-2x1x2+2|x1x2|=8．
∴，
∴b2=3a2（6-a）．
∵b2≥0，
∴0＜a≤6．
设p（a）=3a2（6-a），则p'（a）=-9a2+36a．
由p'（a）＞0得0＜a＜4，由p'（a）＜0得a＞4．
即：函数p（a）在区间（0，4]上是增函数，在区间[4，6]上是减函数，
∴当a=4时，p（a）有极大值为96，
∴p（a）在（0，6]上的最大值是96，
∴b的最大值为．
（III）证明：∵x1，x2是方程f'（x）=0的两根，
∴f'（x）=3a（x-x1）（x-x2）．
∵，x2=a，
∴．
∴
∵x1＜x＜x2，即．
∴
∴|g（x）|===．
∴|g（x）|成立．