Question

已知数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=2a_n+m•2ⁿ（m是与无关的常数且m≠0）．
（1）设，证明数列{b_n}是等差数列，并求a_n；
（2）若数列{a_n}是单调递减数列，求m的取值范围．

Answer

（1）利用an+1=2an+m•2n，两边同除2n，推出bn+1，bn的关系，然后判断数列是否是等差数列．
（2）通过（1）求出数列 an，利用数列{an}是单调递减数列，通过an+1-an＜0，求出m的最小值．
（本小题满分13分）
【解析】
（1）由题意an+1=2an+m•2n
等式两边同除2n+1，得：，
即：，
而b1=
∴是数列{bn}是首项为，公差为的等差数列．
∴，
因为，所以an=2nbn，
an=2n-1（mn+1-m）．
（2）由（1）得：an=2n-1（mn+1-m），
an+1-an=[m（n+1）+1-m]•2n-（mn+1-m）•2n-1
=2n-1（mn+1+m）
∵数列{an}是单调递减数列，
∴对任意的正整数n，不等式2n-1（mn+1+m）＜0恒成立，
即恒成立．
所以m的取值范围是（-∞，-）．