Question

设函数f（x）=x³-．
（1）对于任意实数x₁，x₂∈[-1，0]，求证：|f′（x₁）-f′（x₂）|≤12；
（2）若方程f（x）=0有且仅有一个实根，求a的取值范围．

Answer

（1）先求出导函数f'（x），然后根据二次函数在x∈[-1，0]上的单调性可求出f′（x）max与f′（x）min，从而对任意的x1，x2∈[-1，0]，则|f′（x1）-f′（x2）|≤|f′（x）max-f′（x）min|，得到结论；
（2）先根据f'（x）=0的值分段讨论f'（x）的符号，从而确定函数的单调性，求出函数的极大值和极小值，只需当极小值大于0或极大值大于0，就使方程f（x）=0仅有一个实根．
（本小题满分12分）
【解析】
（1）∵f（x）=x3-．
∴f'（x）=3x2-9x+6=3（x-1）（x-2），
∵对任意的x∈[-1，0]，f′（x）max=f（-1）=18，f′（x）min=f（0）=6
∴对任意的x1，x2∈[-1，0]，|f′（x1）-f′（x2）|≤|f′（x）max-f′（x）min|≤12
（2）因为 当x＜1时，f'（x）＞0；
当1＜x＜2时，f'（x）＜0；
当x＞2时，f'（x）＞0；
所以 当x=1时，f（x）取极大值f（1）=-a；
当x=2时，f（x）取极小值 f（2）=2-a；
故当f（2）＞0 或f（1）＜0时，方程f（x）=0仅有一个实根．
解得 a＜2或a＞．
∴a的取值范围为a＜2或a＞