Question

已知动圆P过点且与直线相切．
（1）求动圆圆心P的轨迹E的方程；
（2）设直线y=x+2与轨迹E交于点A、B，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交轨迹E于N．
①证明：轨迹E点N处的切线l与AB平行；
②是否存在实数a，使？若存在，求a的值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）依题意E的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线方程，由此能求出E的轨迹方程．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．由得：ax2-x-2=0．△．再由韦达定理结合题设条件能够求出存在实数，使得．
【解析】
（1）∵动圆P过点且与直线相切．
∴E的轨迹是以为焦点，
为准线的抛物线方程
所以E的轨迹方程为：y=ax2（a＞0）
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．
由，
得：ax2-x-2=0，，

∴，
∴．
①由y′=（ax2）′=2ax，
得：，
∴l∥AB．
②假设存在实数a，使得，
则．
由MN⊥x轴知：．
又
∴或（舍去）
故存在实数，使得．