Question

在平面直角坐标系xOy中，已知动点P（x，y）（y≤0）到点F（0．-2）的距离为d₁，到x轴的距离为d₂，且d₁-d₂=2．
（I）求点P的轨迹E的方程；
（Ⅱ）若A、B是（I）中E上的两点，，过A、B分别作直线y=2的垂线，垂足分别P、Q．证明：直线AB过定点M，且为定值．

Answer

（Ⅰ）由题意可得：，根据|PF|-|y|=2  及 y≤0，得-|y|=2，化简可得动点P的轨迹E的方程．
（Ⅱ） 联立 可得x2+8kx+8b=0，则x1+x2=-8k，x1•x2=8b．根据求出b=-4，直线AB的方程为y=kx-4，恒过定点M（0，-4），求得 =4．
【解析】
（Ⅰ）由题意可得：．
由|PF|-|y|=2  及 y≤0，得 -|y|=2，
整理得  x2=-8y （y≤0）．即为所求动点P的轨迹E的方程．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（ x2，y2），由题意，知直线AB的斜率必定存在，
故设直线AB的斜率为k，方程为 y=kx+b．
联立 可得 x2+8kx+8b=0．则 x1+x2=-8k，x1•x2=8b．
∵=x1•x2+y1•y2=（k2+1 ） x1•x2+kb（x1+x2 ）+b2 
=8b（k2+1）-8bk2+b2．∴b2+8b+16=0，∴b=-4，
 又△=64 k2-32b＞0，∴b＜2k2，故 b=-4，经检验符合题意．
当 b=-4 时，直线 AB的方程为 y=kx-4，恒过定点 M（0，-4）．
由题意，知P （x1，2），Q （x2，2 ）．则 =（x1，6 ） （x2，6 ）=x1•x2+36=4．
故当 b=-4时，=4，为定值．