Question

记（b_n）_i=i++log2，其中i，n∈N^*，i≤n，如（b_n）₃=3++log2，令S_n=（b_n）₁+（b_n）₂+（b_n）₃+…+（b_n）_n．
（I）求（b_n）₁+（b_n）_n的值；   
（Ⅱ）求S_n的表达式；
（Ⅲ）已知数列{a_n}满足S_n•a_n=1，设数列{a_n}的前n项和为T_n，若对一切n∈N^*，不等式恒成立，求实数λ的最大值．

Answer

（I）由（bn）i=i++log2，知（bn）1+（bn）n=（1++）+（n+），由此能求出（bn）1+（bn）n=n+2．
（Ⅱ）由Sn=（bn）1+（bn）2+（bn）3+…+（bn）n，知Sn=（bn）n+（bn）n-1+…+（bn）2+（bn）1，从而得到2Sn=（bn）1+（bn）n+（bn）2+（bn）n-1+（bn）3+（bn）n-2+…+（bn）n+（bn）1=n（n+2），由此能求出Sn的表达式．
（Ⅲ）由=，知=，故≤恒成立，从而得到，由此能求出实数λ的最大值．
【解析】
（I）∵（bn）i=i++log2，
∴（bn）1+（bn）n=（1++）+（n+）
=n+2+
=n+2．
（Ⅱ）∵Sn=（bn）1+（bn）2+（bn）3+…+（bn）n，
Sn=（bn）n+（bn）n-1+…+（bn）2+（bn）1，
∴2Sn=（bn）1+（bn）n+（bn）2+（bn）n-1+（bn）3+（bn）n-2+…+（bn）n+（bn）1
=n（n+2），
∴．
（Ⅲ）∵=，
∴
=，
当≤恒成立．
∴恒成立，
∴11λ-3n2≤-11（2n+3）恒成立，
∴恒成立，
∴，
而，n∈N*．
∴n=4时，取得最小值．
∴，实数λ的最大值为．