Question

如图，已知ABCD为平行四边形，∠A=60°，AF=2FB，AB=6，点E在CD上，EF∥BC，BD⊥AD，BD与EF相交于N．现将四边形ADEF沿EF折起，使点D在平面BCEF上的射影恰在直线BC上．

（Ⅰ）求证：BD⊥平面BCEF；
（Ⅱ）求折后直线DN与直线BF所成角的余弦值；
（Ⅲ）求三棱锥N-ABF的体积．

Answer

（Ⅰ）要证BD⊥平面BCEF，只需证明D在平面BCEF上的射影为点B即可；
（Ⅱ）法一：建立空间直角坐标系，即可求折后直线DN与直线BF所成角的余弦值；
法二：在线段BC上取点M，使BM=BF，说明∠DNM或其补角为DN与BF所成角．用余弦定理解三角形即可求解折后直线DN与直线BF所成角的余弦值；
（Ⅲ）A到平面BNF的距离等于D到平面BNF的距离，利用VN-ABF=VA-BNF=VD-BNF求三棱锥N-ABF的体积．
【解析】
（Ⅰ）EF⊥DN，EF⊥BN，得EF⊥面DNB
则平面BDN⊥平面BCEF，
由BN=平面BDN∩平面BCEF，
则D在平面BCEF上的射影在直线BN上，
又D在平面BCEF上的射影在直线BC上，
则D在平面BCEF上的射影即为点B，
故BD⊥平面BCEF．（4分）

（Ⅱ）法一．如图，建立空间直角坐标系，
∵在原图中AB=6，∠DAB=60°，
则BN=，DN=2，∴折后图中BD=3，BC=3
∴N（0，，0），D（0，0，3），C（3，0，0）=（-1，0，0）
∴=（-1，，0）=（0，，-3）
∴=
∴折后直线DN与直线BF所成角的余弦值为（9分）

法二．在线段BC上取点M，使BM=NF，则MN∥BF
∴∠DNM或其补角为DN与BF所成角．
又MN=BF=2，DM=．
∴
∴折后直线DN与直线BF所成角的余弦值为
（Ⅲ）∵AD∥EF，∴A到平面BNF的距离等于D到平面BNF的距离，
∴
即所求三棱锥的体积为（14分）