Question

如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是矩形，AB=2，AD=1，顶点D₁在底面ABCD上的射影O是CD的中点，侧棱与底面所成的角为60°．
（I）求证：BO⊥平面D₁AO；
（II）求点O到平面AA₁D₁D的距离；
（III）求二面角C-AD₁-O的大小．

Answer

（I）由已知中，顶点D1在底面ABCD上的射影O是CD的中点，我们根据线面垂直的性质，易得OD1⊥OB，又及等腰三角形三线合一的性质，可得OB⊥OA，进而由线面垂直的性质得到BO⊥平面D1AO；
（II）由O到平面ADD1A1的距离（I）中结论D1O⊥平面ABCD，可得D1O⊥AD，结合AD⊥DO，由线面垂直及面面垂直的判定定理可得平面D1DO⊥平面ADD1A1，则平面D1OD内，作OH⊥DD1，垂足为H，则OH即为点O到平面ADD1A1的距离，解Rt△ODH，即可得到点O到平面AA1D1D的距离；
（III）作CM⊥AO于M，作MN⊥AD1于N，连接CN，可证得∠CNM为二面角C-AD1-O的平面角，解Rt△CMN即可求出二面角C-AD1-O的大小．
证明：（I）∵D1在平面ABCD上的射影为O，
∴OD1⊥平面ABCD，
∴OD1⊥OB…（2分）
∵点O为DC的中点，DC=2，
∴OC=1，
又∵BC=1，∠DCB=90°，
∴OB⊥OA…（4分）
∵D1O∩AO=O，
∴OB⊥平面D1AO…（5分）
【解析】
（II）∵D1O⊥平面ABCD，
∴D1O⊥AD
又∵AD⊥DO，∴AD⊥平面D1DC
AD⊂平面ADD1A1，
∴平面D1DO⊥平面ADD1A1
在平面D1OD内，作OH⊥DD1，垂足为H，则OH⊥平面ADD1A1．
∴线段OH的长为点O到平面ADD1A1的距离…（7分）
∵D1O⊥平面ABCD，∴DD1在平面ABCD上的射影为DO．
∴∠D1DO为侧棱DD1与平面ABCD所成的角．
∴∠D1DO=60°…（9分）
在Rt△ODH中，OH=ODsin60°=．
即：点O到平面ADD1A1的距离为…（10分）
（III）如图，作CM⊥AO于M，作MN⊥AD1于N，连接CN
∵D1O⊥平面ABCD，∴D1O⊥MC
又∵MC⊥AO，∴MC⊥平面AOD1
又∵MN⊥AD1，AD1⊂平面AOD1，∴CN⊥AD1∴∠CNM为二面角C-AD1-O的平面角，…（13分）
在Rt△OCM中，OC=1，∠MOC=45°，∴．
在△ACD1中，CD1=2，，
取D1C的中点E，连接AE，则AE⊥D1C，∴AE=2∴，∴
在Rt△CMN中，∴．
二面角C-AD1-O的大小为．…（16分）