Question

设函数y=f（x）的图象是曲线C₁，曲线C₂与C₁关于直线y=x对称．将曲线C₂向右平移1个单位得到曲线C₃，已知曲线C₃是函数y=log₂x的图象．
（I）求函数f（x）的解析式；
（II）设a_n=nf（x）（n∈N^*），求数列{a_n}的前n项和S_n，并求最小的正实数t，使S_n＜ta_n对任意n∈N^*都成立．

Answer

（I）根据函数的图象的平移法则可求曲线C2的图象，由曲线C2与曲线C1关于直线y=x对称，即曲线C2是函数y=log2（x+1）的反函数可求
（II）由题设：an=n×2n-n，，利用分组求和及错位相减可求Sn，使Sn＜tan对任意n∈N*都成立．即Sn-tan＜0恒成立，
【解析】
（I）由题意知，曲线C3向左平移1个单位得到曲线C2，∴曲线C2是函数y=log2（x+1）的图象．…（2分）
曲线C2与曲线C1关于直线y=x对称，∴曲线C2是函数y=log2（x+1）的反函数的图象y=log2（x+1）的反函数为y=2x-1
∴f（x）=2x-1…（4分）
（II）由题设：an=n×2n-n，n∈N*Sn=（1×21-1）+（2×22-2）+（3×23-3）+…+（n•2n-n）=（1×21+2×22+3×2
2+…+n×2n）-（1+2+3+…+n）…（6分）==①
2Sn=（1×22+2×23+3×24+…+n×2n+1）-n（n+1）②
由②-①得，
，==…（8分）
当=S1-2a1=-1＜0，S2-2a2=-5＜0，S3-2a3=-14＜0
当n≥4时，∴当t=2时，对一切n∈N*，Sn＜2an恒成立．
当0＜t＜2时，=
记，则当n大于比M大的正整数时，
也就证明当t∈（0，2）时，存在正整数n，使得Sn＞tan．
也就是说当t∈（0，2）时，Sn≤tan不可能对一切n∈N*都成立．∴t的最小值为2．…（14分）