Question

已知=（sinx+cosx，sinx-cosx），=（sinx，cosx）
（1）若∥，求x的值；
（2）当x∈时，求函数f（x）=的值域．

Answer

（1）由题设条件∥，可以得到cosx（sinx+cosx）=sinx（sinx-cosx），整理得sin2x+cos2x=0，求得tan2x=-1，再求出x的值；
（2）求出函数f（x）=的解析式，再由三角函数的性质求函数在x∈时的值域．
【解析】
（1）∵∥，=（sinx+cosx，sinx-cosx），=（sinx，cosx）
∴cosx（sinx+cosx）=sinx（sinx-cosx），
整理得sin2x+cos2x=0，
∴tan2x=-1，，
∴2x=kπ-，k∈z，即x=kπ-，k∈z，
（2）f（x）==sinx（sinx+cosx）+cosx（sinx-cosx）=2sinxcosx+sin2x-cos2x=sin2x-cos2x=sin（2x-）
∵x∈，∴2x-∈（，）
∴-1≤sin（2x-）＜，得-≤f（x）＜1
，即函数f（x）=的值域是[-，1）