Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E为棱C₁D₁上的动点，F为棱BC的中点．
（1）求证：直线AE⊥DA₁
（2）求直线DF与平面A₁B₁CD所成角的正弦值
（3）若E为C₁D₁的中点，在线段AA₁求一点G，使得直线AE⊥平面DFG．

Answer

（1）线线垂直A1D⊥D1A，D1A⊥D1E，得线面垂直A1D⊥平面D1AE，从而又得线线垂直AE⊂平面D1AE，所以A1D⊥AE
（2）一作：取CC1的中点M，连接FM交CB1与O，二证：因为C1B⊥B1C，C1B⊥CD，所以C1B⊥平面A1B1CD，因为FM∥C1B，所以
FM⊥平面A1B1CD．所以∠FDO就是直线DF与平面A1B1CD所成角，三计算：在三角形FDO中，sin∠FDO===．
（3）由AE⊥DA1，还可由DF⊥平面AHE，证DF⊥AE，所以AE⊥平面DFA1，故A1点即为所求的点G，然后将探索题改为证明题来做即可
证明：（1）∵A1D⊥D1A，D1A⊥D1E，∴A1D⊥平面D1AE，∵AE⊂平面D1AE，∴A1D⊥AE
【解析】
（2）设正方体的棱长为2，取CC1的中点M，连接FM交CB1与O，则FO=
∵C1B⊥B1C，C1B⊥CD∴C1B⊥平面A1B1CD，∵FM∥C1B，∴FM⊥平面A1B1CD
∴∠FDO就是直线DF与平面A1B1CD所成角
在三角形FDO中，sin∠FDO===
（3）存在，G点即为A1点，由（1）可证得AE⊥DA1，取CD的中点H，由DF⊥AH，DF⊥EH
AH∩EH=H，得DF⊥平面AHE，∴DF⊥AE
∵DFA1D=D，∴AE⊥平面DFG