Question

已知函数，数列{a_n}满足a_n+1=f'_n（a_n），a₁=3．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）根据猜想数列{a_n}的通项公式，并证明；
（3）求证：．

Answer

（1）由已知，对fn（x）求导，由an+1=f'n（an）应得出an+1=an2-（n+1）an+1，利用此递推式求a2，a3，a4；
（2）由（1）求得的结果，应猜想an=n+2，可用数学归纳法证明．
（3）当k≥2时，=（），
对不等式右边的项放缩后，化简整理，寻求出与的大小关系，来证明不等式．
【解析】
（1）f'n（x）=x2-（n+1）x+1，（n∈N*）
∴an+1=an2-（n+1）an+1
∵a1=3．
∴a2=a12-2a1+1=4
a3=a22-3a1+1=5
a4=a32-4a3+1=6
（2）猜想an=n+2
当n=1时，显然成立
假设当n=k（k≥1）时成立，即有ak=k+2
则当n=k+1时，ak+1=ak2-（k+1）ak+1=（k+2）2-（k+1）（k+2）+1
=k+3=（k+1）+2
即当n=k+1时，猜想也成立．
所以对一切n∈N*，an=n+2均成立．
（3）证明：当k≥2时，=（）
所以n≥2时，有＜[（）++…（）]
=（）＜
又=1，
所以，
原不等式成立．