Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分别为AB、BC的中点．
（Ⅰ）求证：平面B₁MN⊥平面BB₁D₁D；
（Ⅱ）按图中示例，在给出的方格纸中，用事先再画出此正方体的3个形状不同的表面展开图，且每个展开提均满足条件“有四个正方形连成一个长方形”．（如果多画，则按前3个记分）．

Answer

（Ⅰ） 要证平面B1MN⊥平面BB1D1D；应通过证出MN⊥平面BB1D1D而实现．又可通过证明BB1⊥MN，MN⊥BD 而得出．
 （Ⅱ）按照要求画出即可．
【解析】
（Ⅰ）证明：正方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD，MN⊂平面ABCD，
∴BB1⊥MN．连接AC，
∵M、N分别为AB、BC的中点．
∴MN∥AC．
又四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，∴MN⊥BD，
∵BD∩BB1=B，
∴MN⊥平面BB1D1D；
又MN⊂平面B1MN，
∴平面B1MN⊥平面BB1D1D；
 （Ⅱ） 符合要求的还有如下五个．