Question

已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点F在x轴上，且过点（1，2）．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）命题：“过椭圆的一个焦点F₁作与x轴不垂直的任意直线l”交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，则为定值，且定值是”．命题中涉及了这么几个要素：给定的圆锥曲线T，过该圆锥曲线焦点F₁的弦AB，AB的垂直平分线与焦点所在的对称轴的交点M，AB的长度与F₁、M两点间距离的比值．试类比上述命题，写出一个关于抛物线C的类似的正确命题，并加以证明．
（Ⅲ）试推广（Ⅱ）中的命题，写出关于抛物线的一般性命题（不必证明）．

Answer

（Ⅰ）设抛物线C的方程为：y2=2px（p＞0），由抛物线C过点（1，2），解得p=2．由此能求出抛物线C的方程．
（Ⅱ）关于抛物线C的类似命题为：过抛物线y2=4x的焦点F（1，0）作与x轴不垂直的任意直线l，
交抛物线线于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，则为定值，且定值为2．
证明：设直线AB的方程为x=ty+1，t≠0，代入y2=4x，得y2-4ty-4=0．△=16t2+16＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=4t，y1y2=-4，x1+x2=t（y1+y2）+2=4t2+2，故线段AB中点P的坐标为（2t2+1，2t），AB的垂直平分线MP的方程为y-2t=-t（x-2t2-1），令y=0，得M（2t2+3，0），由此能推导出．
（Ⅲ）过抛物线的焦点F作与对称轴不垂直的任意直线l，交抛物线线于A，B两点，线段AB的垂直平分线交对称轴于点M，则为定值，且定值为2．
【解析】
（Ⅰ）依题意，可设抛物线C的方程为：y2=2px（p＞0），
∵抛物线C过点（1，2），
∴22=2p，解得p=2．
∴抛物线C的方程为：y2=4x．
（Ⅱ）关于抛物线C的类似命题为：过抛物线y2=4x的焦点F（1，0）作与x轴不垂直的任意直线l，
交抛物线线于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，则为定值，且定值为2．
证明如下：
设直线AB的方程为x=ty+1，t≠0，
代入y2=4x，消去x，得y2-4ty-4=0．
∵△=16t2+16＞0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=4t，y1y2=-4，
x1+x2=t（y1+y2）+2=4t2+2，
∴线段AB中点P的坐标为（2t2+1，2t），
AB的垂直平分线MP的方程为y-2t=-t（x-2t2-1），
令y=0，解得x=2t2+3，
即M（2t2+3，0），
∴|FM|=2t2+2，
由抛物线定义知，|AB|=x1+x2+2=4t2+4，
∴．
（Ⅲ）过抛物线的焦点F作与对称轴不垂直的任意直线l，交抛物线线于A，B两点，线段AB的垂直平分线交对称轴于点M，则为定值，且定值为2．