Question

已知函数f（x）=（ax²+bx+c）e^x在x=1处取得极小值，其图象过点A（0，1），且在点处切线的斜率为-1．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）设函数g（x）的定义域D，若存在区间[m，n]⊆D，使得g（x）在[m，n]上的值域也是[m，n]，则称区间[m，n]为函数g（x）的“保值区间”．
（ⅰ）证明：当x＞1时，函数f（x）不存在“保值区间”；
（ⅱ）函数f（x）是否存在“保值区间”？若存在，写出一个“保值区间”（不必证明）；若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）由函数f（x）=（ax2+bx+c）ex，知f′（x）=[ax2+（2a+b）x+（b+c）]ex，由，得，由此能求出f（x）的解析式．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f′（x）=（x2-1）ex．
（i）假设x＞1时，f′（x）存在“保值区间[m，n]”，（n＞m＞1）．由x＞1时，f′（x）=（x2-1）ex＞0，知f（x）在区间（1，+∞）是增函数，由，把问题转化为（x-1）2ex-x=0有两个大于1的不等实根，由此能推导出当x＞1时，f（x）不存在“保值区间”．
（ii）f（x）存在“保值区间”，[0，1]是它的一个“保值区间”．
【解析】
（Ⅰ）∵函数f（x）=（ax2+bx+c）ex，
∴f′（x）=[ax2+（2a+b）x+（b+c）]ex，
由，
即，
解得．
经检验，f（x）=（x2-2x+1）ex满足题意．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f′（x）=（x2-1）ex．
（i）假设x＞1时，f′（x）存在“保值区间[m，n]”，（n＞m＞1）．
∵x＞1时，f′（x）=（x2-1）ex＞0，
∴f（x）在区间（1，+∞）是增函数，
依题意，，
即，
于是问题转化为（x-1）2ex-x=0有两个大于1的不等实根，
现在考察函数h（x）=（x-1）2ex-x（x≥1），
h′（x）=（x2-1）ex-1．
令∅（x）=（x2-1）ex-1，
则∅′（x）=（x2+2x-1）ex，
∴当x＞1时，∅′（x）＞0，
∴∅（x）在（1，+∞）是增函数，
即h′（x）在（1，+∞）是增函数．
∵h′（1）=-1＜0，h′（2）=3e2-1＞0．
∴存在唯一x∈（1，2），使得h′（x）=0，
当x变化时，h′（x），h（x）的变化情况如下表：

 x  （1，x）  x  （x，+∞）
 h′（x） -  0 +
 h（x） ↓  极小值 ↑

∴h（x）在（1，x）上单调递减，在（x，+∞）上单调递增．
于是，h（x）＜h（1）=-1＜0，
∵h（2）=e2-2＞0，
∴当x＞1时，h（x）的图象与x轴只有一个交点，
即方程（x-1）2e2-x=0有且只有一个大于1的根，与假设矛盾．
故当x＞1时，f（x）不存在“保值区间”．
（ii）f（x）存在“保值区间”，[0，1]是它的一个“保值区间”．