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函数f (x) 对一切实数x,y均有f(x+y)-f(y)=x(x+2y+1)成...

函数f (x) 对一切实数x,y均有f(x+y)-f(y)=x(x+2y+1)成立,且f (1)=0.
(Ⅰ)求f (0)的值;
(Ⅱ)求函数f(x)的表达式;
(Ⅲ)当manfen5.com 满分网时,f (x)+2<logax恒成立,试求实数a的取值范围.
(Ⅰ)根据函数f (x) 对一切实数x,y均有f(x+y)-f(y)=x(x+2y+1)成立,令x=1,y=0可求出f(0)的值; (Ⅱ)令 y=0,可得函数f(x)的表达式; (Ⅲ)将f (x)的解析式代入得x2+x<logax,又,所以x2+x>0,当a>1时,logax<0,说明a>1不合题意,,即h(x)<0恒成立然后利用导数研究函数的单调性,求出函数h(x)的最大值,使最大值小于等于0即可. 【解析】 (Ⅰ)∵函数f (x) 对一切实数x,y均有f(x+y)-f(y)=x(x+2y+1)成立 ∴令x=1,y=0,f(1+0)-f(0)=1(1+2×0+1)⇒f(0)=-2…(3分) (Ⅱ)令 y=0,可得  f(x)=x2+x-2…(5分) (Ⅲ)f (x)+2<logax即  x2+x<logax 又,所以x2+x>0, 当a>1时,logax<0,说明a>1不合题意.…(7分) ,即h(x)<0恒成立 因为 当时,h'(x)>0恒成立…(9分) 所以 h(x)是增函数,有 …(11分) 只需 恒成立,解得   所以实数a的取值范围是 …(14分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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