Question

如图，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4AD=CD=2，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D-ABC，如图所示．
（1）求证：BC⊥平面ACD
（2）求BD与平面ABC所成角θ的正弦值．

Answer

（1）法一：由题设条件及图形，取AC中点O，连接DO，可根据勾股定理证明AC⊥BC，由线面垂直的性质证明DO⊥BC，再有线面垂直的判定定理证明线面垂直即可；
法二：观察题设条件发现，本题可以借助面面平行的性质定理证明线面垂直，只须证明AC⊥BC，易证；
（2）根据题设条件及图形，作DH⊥AC于H，连接HB，可证得∴∠DBH即为BD与平面ABC所成角θ，在三角形中求值即可．
【解析】
（1）法一：由于AC=BC=2，从而AC2+BC2=AB2故AC⊥BC，
取AC中点O，连接DO，则DO⊥AC，
又平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC=AC，DO⊂平面ACD，从而DO⊥平面ABC，
∴DO⊥BC，又DO∩AC=O，
∴BC⊥平面ACD
法二：由于AC=BC=2，从而AC2+BC2=AB2故AC⊥BC，
∵平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC=AC，BC⊂平面ABC，从而得BC⊥平面ACD
（2）作DH⊥AC于H，连接HB，∵平面ADC⊥平面ABC，且DH⊂平面ACD，
∴DH⊥平面ABC，
∴∠DBH即为BD与平面ABC所成角θ
∴sinθ=sin∠DBH===