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已知f(x)=ae-x+cosx-x(0<x<1) (1)若对任意的x∈(0,1...

已知f(x)=ae-x+cosx-x(0<x<1)
(1)若对任意的x∈(0,1),f(x)<0恒成立,求实数a的取值范围;
(2)求证:manfen5.com 满分网
(1)由f(x)<0,得a<(x-cosx)•ex,记g(x)=(x-cosx)•ex,求出g(x)的导数,利用导数判断g(x)在(0,1)的单调性,再由函数的单调性进行求解. (2)构造函数h(x)=(0<x<1),且h(0)=0,求出h(x)的导数,再由导数判断h(x)在(0,1)上的单调性,再借助函数的单调性进行求解. 【解析】 (1)由f(x)<0,得a<(x-cosx)•ex, 记g(x)=(x-cosx)•ex, 则g′(x)=(1+sinx)•ex+(x-cosx)•ex =(1+sinx-cosx+x)•ex, ∵0<x<1, ∴sinx>0,1-cosx>0,ex>0,∴g′(x)>0, ∴g(x)在(0,1)上为增函数. ∴-1<g(x)<(1-cos1)•e,故a≤-1. (2)构造函数h(x)=(0<x<1),且h(0)=0, 则h′(x)=-e-x+cosx-x, 由(1)知:当a=-1时,f(x)=-e-x+cosx-x<0(0<x<1), ∴h(x)在(0,1)单调递减,∴h(x)<h(0)=0, 即.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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