Question

函数f（x）的定义域是R，若f（x+1）是奇函数，是f（x+2）偶函数．下列四个结论：
①f（x+4）=f（x）；   ②f（x）的图象关于点（2k，0）（k∈Z）对称；  ③f（x+3）是奇函数；    ④f（x）的图象关于直线x=2k+1（k∈Z）对称．其中正确命题的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer

①由f（x+2）偶函数可得f（x+2）=f（-x+2）；由f（x+1）奇函数可得f（x+1）=-f（-x+1），结合两个条件可判断f（x+4）=f（x）是否成立
②由f（x+1）是奇函可得函数f（x）的图象关于（1，0）对称，而（2k，0）中没有（1，0）点，可判断②
③由f（x+1）奇函数可得f（x+1）=-f（-x+1），结合f（x+4）=f（x）可判断
④由f（x+2）是偶函可知函数f（x）的图象关于x=2对称，而x=2k+1中不包含x=2，可判断
【解析】
①∵f（x+2）偶函数
∴f（x+2）=f（-x+2）
∵f（x+1）奇函数
∴f（x+1）=-f（-x+1）
∴f[（x+1）+1]=-f（-（x+1）+1）=-f（-x）
即f（x+2）=-f（-x）
∴f（-x+2）=f（x+2）=-f（-x）
即f（t+2）=-f（t）
∴f（t+4）=-f（t+2）=f（t）
∴f（x+4）=f（x），故①正确
②由f（x+1）是奇函可得函数f（x）的图象关于（1，0）对称，而（2k，0）中没有（1，0）点，故②错误
③考察f（x+3）+f（-x+3）
∵f（x+1）奇函数∴f（x+1）=-f（-x+1）∴f（x-2+1）=-f（-（x-2）+1）=-f（-x+3）f（-x+3）=-f（x-1）又由于已经证明f（x+4）=f（x）∴f（x+3）=f（x-1）
∴f（x+3）+f（-x+3）=f（x-1）-f（x-1）=0 即f（x+3）是奇函数，故③正确
④由f（x+2）是偶函可知函数f（x）的图象关于x=2对称
而x=2k+1中不包含x=2，故④错误
故选B