Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，BC=2，AB=4，CC_l=4，E在BB_l上，且EB₁=1，D、F分别为CC_l、A_lC₁的中点．
（I）求证：B₁D⊥平面ABD；
（Ⅱ）求异面直线BD与EF所成的角余弦值；
（Ⅲ）求直线EF与平面ABD所成角的正弦值．

Answer

（I）由已知中直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，BC=2，AB=4，CC1=4，E在BB1上，且EB1=1，我们根据勾股定理，可得B1D⊥DB，再由直三棱柱的性质可得BA⊥B1D，进而根据线面垂直的判定定理可得B1D⊥面ABD；
（Ⅱ）取B1C1的中点G，连接GE、GF，则EG∥BD，我们可得∠GEF或其补角为BD、EF所成角，解三角形EGF即可求出异面直线BD与EF所成的角；
（Ⅲ）根据F，G分别为对应边的中点，得到GF∥A1B1∥AB；再结合EG∥BD可得平面ABD∥平面GEF，进而得到结论．
【解析】
（I）证明：由条件得 DB=2，D11=2，BB1=4
∴BD2+DB12=BB12
∴B1D⊥DB，
又AB⊥面BCC1B1，
∴BA⊥B1D
∴B1D⊥面ABD（3分）
（Ⅱ）取B1C1的中点G，连接GE、GF，则EG∥BD，
∴∠GEF或其补角为BD、EF所成角（4分）
∵A1B1⊥面BCC1B1，GF∥A1B1∴FG⊥面BCC1B1，∴FG⊥GE
在Rt△EGF中，GE=，GF=2，∴tan∠GEF=，
∴cos∠GEF=．
∴BD与EF所成角的余弦值．（8分）
（Ⅲ）∵F，G分别为对应边的中点，
∴GF∥A1B1∥AB，
又由第二问得：EG∥BD
∴平面ABD∥平面GEF，
所以有：EF∥平面ABD．
故直线EF与平面ABD所成角的正弦值为0．