Question

如图，设抛物线C₁：y²=4mx（m＞0）的准线与x轴交于F₁，焦点为F₂；以F₁，F₂为焦点，离心率e=的椭圆C₂与抛物线C₁在x轴上方的交点为P，延长PF₂交抛物线于点Q，M是抛物线C₁上一动点，且M在P与Q之间运动．
（1）当m=1时，求椭圆C₂的方程；
（2）当△PF₁F₂的边长恰好是三个连续的自然数时，求△MPQ面积的最大值．

Answer

（1）当m=1时，y2=4x，则F1（-1，0），F2（1，0）．设椭圆方程为=1（a＞b＞0），由题设条件知c=1，a=2，b2=3，由此可知椭圆C2方程为=1．
（2）因为c=m，e==，则a=2m，b2=3m2，设椭圆方程为，由，得3x2+16mx-12m2=0，得xP=代入抛物线方程得P（，），由此得m=3，由此可求出△MPQ面积的最大值．
【解析】
（1）当m=1时，y2=4x，则F1（-1，0），F2（1，0）
设椭圆方程为=1（a＞b＞0），则c=1，又e==，所以a=2，b2=3
所以椭圆C2方程为=1（4分）
（2）因为c=m，e==，则a=2m，b2=3m2，
设椭圆方程为
由，得3x2+16mx-12m2=0（6分）
即（x+6m）（3x-2m）=0，得xP=代入抛物线方程得yP=m，
即P（，）
|PF2|=xP+m=，|PF1|=2a-|PF2|=4m-=，|F1F2|=2m=，
因为△PF1F2的边长恰好是三个连续的自然数，所以m=3（8分）
此时抛物线方程为y2=12x，P（2，2），直线PQ方程为：y=-2（x-3）．
联立，得2x2-13x+18=0，即（x-2）（2x-9）=0，
所以xQ=，代入抛物线方程得yQ=-3，即Q（，-3）
∴|PQ|==．
设M（，t）到直线PQ的距离为d，t∈（-3，2）
则d==|（t+）2-|（10分）
当t=-时，dmax=•=，
即△MPQ面积的最大值为××=．（12分）