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将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表:a1a2a3a...

将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表:a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10…记表中的第一列数a1,a2,a4,a7,…构成的数列为{bn},b1=a1=1.Sn为数列{bn}的前n项和,且满足manfen5.com 满分网
(Ⅰ)证明数列manfen5.com 满分网成等差数列,并求数列{bn}的通项公式;
(Ⅱ)上表中,若从第三行起,第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,且公比为同一个正数.当manfen5.com 满分网时,求上表中第k(k≥3)行所有项的和.

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(Ⅰ)由题意所给的已知等式特点应考虑应用已知数列的前n项和求其通项这一公式来寻求出路,得到Sn与SSn-1之间的递推关系,先求出Sn的通项公式即可得证,接下来求{bn}的通项公式; (Ⅱ)由题意第一列数a1,a2,a4,a7,…构成的数列为{bn},b1=a1=1,又已知{bn}的通项公式和a81的值,应该现有规律判断这一向位于图示中的具体位置,有从第三行起,第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,且公比为同一个正数进而求解. 【解析】 (Ⅰ)证明:由已知,当n≥2时,,又Sn=b1+b2++bn, 所以, 又S1=b1=a1=1.所以数列是首项为1,公差为的等差数列. 由上可知,. 所以当n≥2时,. 因此 (Ⅱ)设上表中从第三行起,每行的公比都为q,且q>0. 因为, 所以表中第1行至第12行共含有数列{an}的前78项,故a81在表中第13行第三列, 因此.又,所以q=2. 记表中第k(k≥3)行所有项的和为S, 则.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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