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已知一条曲线C在y轴右边,C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都...

已知一条曲线C在y轴右边,C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.
(1)求曲线C的方程;
(2)设n是过原点的直线,l是与n垂直相交于点P,且与曲线C相交于A、B两点的直线,且manfen5.com 满分网,问:是否存在上述直线l使manfen5.com 满分网成立?若存在,求出直线l的方程,若不存在,请说明理由.
(1)设M(x,y)是曲线C上任意一点,那么点M(x,y)满足,由此能求出曲线C的方程. (2)设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).假设使成立的直线l存在.①当l不垂直于x轴时,设l的方程为y=kx+m,由l与n垂直相交于P点且.得m2=k2+1.由此能导出存在两条直线l满足条件,其方程为:.②当l垂直于x轴时,则n为x轴,P点坐标为(1,0),A(1,2),B(1,-2符合题意的直线l有两条:. 【解析】 (1)设M(x,y)是曲线C上任意一点, 那么点M(x,y)满足, 化简,得y2=4x(x>0).…(3分) (2)设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2). 假设使成立的直线l存在. ①当l不垂直于x轴时,设l的方程为y=kx+m, 由l与n垂直相交于P点且. 得,即m2=k2+1.①…(4分) ∴ ∴…(5分) = =1+0+0-1=0, 即x1x2+y1y2=0.…(6分) 将y=kx+m代入方程y2=4x, 得k2x2+(2km-4)x+m2=0.…(7分) ∵l与C有两个交点, ∴k≠0,.② ∴x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m) =(1+k2)x1x2+km (x1+x2)+m2=0.③…(8分) 将②代入③得. 化简,得m2+4km=0.…(9分) ∵, ∴m≠0  ①∴m+4k=0   ④ 由①、④得,或,…(10分) 得存在两条直线l满足条件,其方程为:. ②当l垂直于x轴时,则n为x轴,P点坐标为(1,0),A(1,2),B(1,-2). ∴, ∴, 不合题意. 综上,符合题意的直线l有两条:.…(12分) 注:第Ⅱ问设l的方程为x=ly+m,联立y2=4x建立y的一元二次方程更简单,且不需讨论.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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