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在平面直角坐标系中,O为坐标原点,给定两点A(1,0),B(0,-2),点C满足...

在平面直角坐标系中,O为坐标原点,给定两点A(1,0),B(0,-2),点C满足manfen5.com 满分网,其中m,n∈R且m-2n=1.
(1)求点C的轨迹方程;
(2)设点C的轨迹与双曲线manfen5.com 满分网(a>0,b>0且a≠b)交于M、N两点,且以MN为直径的圆过原点,求证:manfen5.com 满分网为定值;
(3)在(2)的条件下,若双曲线的离心率不大于manfen5.com 满分网,求双曲线实轴长的取值范围.
(1)由向量等式,得点C的坐标,消去参数即得点C的轨迹方程; (2)将直线与双曲线方程组成方程组,利用方程思想,求出x1x2+y1y2,再结合向量的垂直关系得到关于a,b的关系,化简即得结论. (3)由(2)得从而又e得出.解得双曲线实轴长2a的取值范围即可. 【解析】 (1)设C(x,y),∵ ∴(x,y)=m(1,0)+n(0,-2). ∴∵m-2n=1, ∴x+y=1 即点C的轨迹方程为x+y=1(15分) (2)由得(b2-a2)x2+2a2x2-a2-a2b2=0 由题意得(8分) 设M(x1,y1),N(x2,y2), 则 ∵以MN为直径的圆过原点,∴.即x1x2+y1y2=0. ∴x1x2+(1-x1)(1-x2)=1-(x1+x2)+2x1x2 =.即b2-a2-2a2b2=0. ∴为定值.(14分) (3)∵ ∴ ∵e∴. ∴ 解得:0<a≤,0<2a≤1 ∴双曲线实轴长的取值范围是(0,1].
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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