Question

已知函数．（a，b为常数）
（Ⅰ）当a=1时，F（x）=0有两个不相等的实根，求b的取值范围；
（Ⅱ）若F（x）有三个不同的极值点0，x₁，x₂．a为何值时，能使函数F（x）在x₁（或者x₂）处取得的极值为b？
（Ⅲ）若对任意的a∈[-1，0]，不等式F（x）≥-8在[-2，2]上恒成立，求b的取值范围．

Answer

（Ⅰ）当a=1时，F（x）=0有两个不相等的实根，即函数F（x）的图象与x轴有两个交点，对函数F（x）求导，研究其单调性，得出其图象变化规律及函数的极值，判断出图象与x轴有两个交点的情况极小值大于0即可．
（2）能使函数F（x）在x1（或者x2）处取得的极值为b，由于极值F（0）=b，由此说明F（x）=b有两个等根，且x=0必为函数的极大值点，由这两个条件转化出等价的条件，求解即可．
（3）对任意的a∈[-1，0]，不等式F（x）≥-8在[-2，2]上恒成立，故依据单调性判断出函数的最小值，令最小值大于等于-8即可解出参数b的取值范围．
【解析】
F′（x）=-x3+3ax2+（a2+5a-2）x
（Ⅰ）当a=1时，F′（x）=-x3+3x2+4x=-x（x-4）（x+1）
令F′（x）＞0解得x＜-1或0＜x＜4，令F′（x）＜0解得-1＜x＜0或x＞4
故函数在区间（-∞，-1）与（0，4）上是增函数，在（-1，0）与（4，+∞）上是减函数
故函数在x=-1时与x=4时取到极大值，在x=0时取到极小值，
故F（-1）=，F（4）=32+b，F（0）=b
∵F（x）=0有两个不相等的实根，∴b＞0或者
（II）由（Ⅰ）知F（0）=b，由F′（x）=-x3+3ax2+（a2+5a-2）x，故x=0为其一个极值点，若欲使得另两个极值点中的一个的极值也是b，则x=0必为其一个极大值点，且另外一个极值点处的函数值也为b，由F′（x）=-x3+3ax2+（a2+5a-2）x=-x[x2-3ax-（a2+5a-2）]=0，x1，x2．必同号，即a2+5a-2＜0   ①
令F（x）=F（0）=b，则=0必有两根，且其一根为0故=0仅有一根
故△==0，即3a2+5a-2=0解得a=-2或a=  代入①验证知，a=-2或a= 符合题意
故当a=-2或a= 时，能使函数F（x）在x1（或者x2）处取得的极值为b
（III）∵F′（x）=-x3+3ax2+（a2+5a-2）x=-x[x2-3ax-（a2+5a-2）]，显然x=0是其一根
令F′（x）=0的另两根为x1，x2，且x1≤x2，
∴x1+x2=3a，x1x2=-（a2+5a-2）
∵a∈[-1，0]，
∴x1+x2=3a＜0，x1x2=-（a2+5a-2）＞0
∴x1≤x2＜0
∵不等式F（x）≥-8在[-2，2]上恒成立，接合上证知
函数在[-2，2]上的最小值为F（2）=-4+8a+2a2+10a-4+b
代入不等式F（x）≥-8得8a+2a2+10a+b≥0，即b≥-2a2-18a，
由于a∈[-1，0]，
∴-2a2-18a≤16
故b≥16