Question

某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科目B的考试．已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书．现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率均为，科目B每次考试成绩合格的概率均为．假设各次考试成绩合格与否均互不影响．
（Ⅰ）求他不需要补考就可获得证书的概率；
（Ⅱ）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为ξ，求ξ的数学期望Eξ．

Answer

（1）不需要补考就获得证书的事件表示科目A第一次考试合格且科目B第一次考试合格，这两次考试合格是相互独立的，根据相互独立事件同时发生的概率，得到结果．
（2）参加考试的次数为ξ，由已知得，ξ=2，3，4，注意到各事件之间的独立性与互斥性，根据相互独立事件同时发生的概率写出概率，求出期望．
【解析】
设“科目A第一次考试合格”为事件A1，“科目A补考合格”为事件A2；
“科目B第一次考试合格”为事件B1，“科目B补考合格”为事件B2．
（Ⅰ）不需要补考就获得证书的事件为A1•B1，注意到A1与B1相互独立，
根据相互独立事件同时发生的概率
可得．
即该考生不需要补考就获得证书的概率为．
（Ⅱ）由已知得，ξ=2，3，4，注意到各事件之间的独立性与互斥性，
根据相互独立事件同时发生的概率
可得
=．

=，

=，
∴．
即该考生参加考试次数的数学期望为．