Question

已知函数f_n（x）=1+x+x²+…+xⁿ（n∈N^*）．
（1）当n=1，2，3时，分别求函数f_n（x）的单调区间；
（2）当n=2时，关于x的方程在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，求实数m的取值范围；
（3）求证：对任意的正整数n，不等式都成立．

Answer

（1）当n=1时直接利用一次函数的单调性即可，当n=2时借助于二次函数的单调性；当n=3时，求出其导函数即可求出函数fn（x）的单调区间；
（2）先把问题转化为在区间[0，2]上与x轴恰有两个不同的交点；求出其导函数，得到其单调性，根据其端点值满足的条件即可求出实数m的取值范围；
（3）先令g（x）=ln（x+1）-x2-x，根据其导函数得到其在定义域上的最大值，再取，即可证明结论成立．
【解析】
（1）当n=1时，f（x）=1+x在区间（-∞，+∞）上单调递增；
当n=2时，f（x）=1+x+x2在区间上单调递减，在区间上单调递增：
当n=3时，f（x）=1+x+x2+x3，导函数f''（x）=1+2x+3x2＞0对x∈R成立，f（x）=1+x+x2+x3在区间（-∞，+∞）上单调递增．
（2）由得：在区间[0，2]上与x轴恰有两个不同的交点

当x∈（0，1）时，h′（x）＞0，则h（x）在区间（0，1）上单调递增；
当x∈（1，2）时，h′（x）＜0，则h（x）在区间（1，2）上单调递减；
由题意得：则
（3）令g（x）=ln（x+1）-x2-x，它的定义域为{x|x＞-1}．
∴
当x∈（-1，0）时，g′（x）＞0，则g（x）在区间（-1，0）上单调递增；
当x∈（0，+∞）时，g′（x）＜0，则g（x）在区间（0，+∞）上单调递减；
∴g（0）为g（x）在（-1，+∞）上的最大值
∴g（x）≤g（0）即ln（x+1）-x2-x≤0（当且仅当x=0时，等号成立）
∴对任意n∈N*，取，则不等式都成立．