Question

甲．如图1，平面VAD⊥平面ABCD，△VAD是等边三角形，ABCD是矩形，AB：AD=：1，F是AB的中点．
（1）求VC与平面ABCD所成的角；
（2）求二面角V-FC-B的度数；
（3）当V到平面ABCD的距离是3时，求B到平面VFC的距离．
乙、如图正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F、G分别是B₁B、AB、BC的中点．
（1）证明：D₁F⊥EG；
（2）证明：D₁F⊥平面AEG；
（3）求，．
注意：考生在（19甲）、（19乙）两题中选一题作答，如果两题都答，只以（19甲）计分．

Answer

甲（1）取AD的中点G连接VG，CG，由等腰三角形三线合一及面面垂直的性质可得VG⊥平面ABCD，即∠VCG为CV与平面ABCD所成的角，解Rt△GDC及Rt△VGC可得VC与平面ABCD所成的角；
（2）连接GF，解△GFC中可得GF⊥FC，连接VF，由VG⊥平面ABCD知VF⊥FC，则∠VFG即为二面角V-FC-D的平面角，解Rt△VFG可得二面角V-FC-B的度数；
（3）设B到平面VFC的距离为h，当V到平面ABCD的距离是3时，即VG=3．根据等体积法即VV-FCB=VB-VCF，可得B到面VCF的距离．
乙
（1）如图2以D为原点，DA、DC、DD1所在的直线分别为x、y、z轴，求出D1F与EG1的方向向量，根据向量的数量积为0，两个向量垂直得到D1F⊥EG．
（2）由向量，a，），根据．可得D1F⊥AE．结合（1）的结论及线面垂直的判定定理可得D1F⊥平面AEG．
（3）由，a，），=（a，a，-a），代入向量夹角公式可得，
甲
【解析】
（1）取AD的中点G（图1），连接VG，CG．
∵△ADV为正三角形，∴VG⊥AD．
又平面VAD⊥平面ABCD．AD为交线，
∴VG⊥平面ABCD，
则∠VCG为CV与平面ABCD所成的角．
设AD=a，则，．
在Rt△GDC中，．
在Rt△VGC中，．
∴∠VCG=30°．
即VC与平面ABCD成30°．
（2）连接GF，则．
而 ．
在△GFC中，GC2=GF2+FC2．∴GF⊥FC．
连接VF，由VG⊥平面ABCD知VF⊥FC，则∠VFG即为二面角V-FC-D的平面角．
在Rt△VFG中，．
∴∠VFG=45°． 二面角V-FC-B的度数为135°．
（3）设B到平面VFC的距离为h，当V到平面ABCD的距离是3时，即VG=3．
此时，，，．
∴，．
∵VV-FCB=VB-VCF，
∴．
∴．
∴即B到面VCF的距离为．
乙
【解析】
如图2以D为原点，DA、DC、DD1所在的直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，设正方体AC1棱长为a，则D（0，0，0），A（a，0，0），B（a，a，0），D1（0，0，a），E（a，a，），F（a，，0），G（，a，0）．
（1），，-a），，0，，
∵，
∴D1F⊥EG．
（2），a，），
∴．
∴D1F⊥AE．
∵EG∩AE=E，∴D1F⊥平面AEG．
（3）由，a，），=（a，a，-a），
∴，=．